Question

【题目】曲线y=1+ 与直线kx﹣y﹣2k+5=0有两个交点时，实数k的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：化简曲线y=1+ ，得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）

∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．

∵直线kx﹣y﹣2k+5=0可化为y﹣5=k（x﹣2），

∴直线经过定点A（2，5）且斜率为k．

又∵半圆y=1+ 与直线kx﹣y﹣2k+5=0有两个相异的交点，

∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），

当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，

直线与半圆有两个相异的交点．

由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足 =2，

解之得k= ，即kAD= ．

又∵直线AB的斜率kAB=1，∴直线的斜率k的范围为k∈ ．

所以答案是 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与圆的三种位置关系的相关知识，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．