Question

已知向量

a

=(1-2cos2

ωx

2

，  1)，

b

=（-1，cos（ωx+

π

3

）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=

a

•

b

的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=

3

3

，x∈(0，

π

2

)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(x)-

3

2

x在区间[0，2π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据AB的长，确定出周期，利用周期公式即可确定出ω的值；
（2）由f（x）=

3

3

，以及第一问确定的函数解析式，求出sin（x+

2π

3

）与cos（x+

2π

3

）的值，将x变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（3）将f（x）代入g（x）中化简，求出g（x）的导函数，令导函数小于0，求出x的范围，即为g（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）∵

a

=（1-2cos²

ωx

2

，1），

b

=（-1，cos（ωx+

π

3

）），
∴f（x）=

a

•

b

=2cos²

ωx

2

-1+cos（ωx+

π

3

）=cosωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx=

3

2

cosωx-

3

2

sinωx=

3

sin（ωx+

2π

3

），
由AB=π=

1

2

T，得T=2π=

2π

|ω|

，
∵ω＞0，
则ω=1；
（2）由（1）得f（x）=

3

sin（x+

2π

3

）=

3

3

，则sin（x+

2π

3

）=

1

3

，
由x∈（0，

π

2

），得cos（x+

2π

3

）=-

2 2

3

，
∴sinx=sin（x+

2π

3

-

2π

3

）=sin（x+

2π

3

）cos

2π

3

-cos（x+

2π

3

）sin

2π

3

=

1

3

×（-

1

2

）-（-

2 2

3

）×

3

2

=

2 6 -1

6

；
（3）g（x）=f（x）-

3

2

x=

3

sin（x+

2π

3

）-

3

2

x，
求导得：g′（x）=

3

cos（x+

2π

3

）-

3

2

≤0，
∴cos（x+

2π

3

）≤

1

2

，
∴2kπ+

π

3

≤x+

2π

3

≤2kπ+

5π

3

（k∈Z），即2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+π（k∈Z），
又x∈[0，2π]，
∴g（x）在区间[0，2π]上的单调递减区间为[0，π]，[

5π

3

，2π]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．