Question

若(3x-

1

x

)n的二项展开式中，所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项是

-540

．

Answer 1

分析：依题意，(3x-

1

x

)n的二项展开式中，所有项的系数之和为64，就是x=1时的函数值，从而可求得n，利用其展开式的通项公式即可求得展开式中的常数项．

解答：解：依题意，当x=1时有2ⁿ=64，
∴n=6．设二项展开式的通项公式为：T_r+1=

C

r 6

•（3x）^6-r•（-x^-1）^r=（-1）^r•3^6-r•

C

r 6

•x^6-r-r，
∴由6-2r=0得r=3．
∴展开式中的常数项是T₄=（-1）³•3³•

C

3 6

=-540．
故答案为：-540．

点评：本题考查二项式定理的应用，由题意求得n=6是关键，着重考查二项展开式中的通项公式，属于中档题．