Question

已知函数f（x）=e^x-x-m（m∈R）．
（1）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（2）当m=-1时，证明：（

x-lnx

ex

）f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）令g（x）=e^x-x，从而化恒成立问题为函数的最值问题，利用导数求解；
（2）化简：（

x-lnx

ex

）f（x）=（x-lnx）（1-

x-1

ex

）；从而令h（x）=x-lnx，n（x）=1-

x-1

ex

，分别利用导数求函数的单调性，从而确定函数的最值，从而证明不等式．

解答： 解：（1）由题意得，e^x-x-m＞0恒成立对x＞0恒成立，
令g（x）=e^x-x，
则g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞0，
故g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故当x＞0时，g（x）＞g（0）=1；
故若使e^x-x-m＞0恒成立对x＞0恒成立，
则只需使m≤1；
（2）证明：（

x-lnx

ex

）f（x）=（x-lnx）（1-

x-1

ex

）；
令h（x）=x-lnx，h′（x）=

x-1

x

；
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
当x＞1时，h′（x）＞0；
即h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
∴h（x）≥h（1）=1①．
令n（x）=1-

x-1

ex

，n′（x）=

x-2

ex

，
故n（x）=1-

x-1

ex

在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上为增函数；
故n（x）≥n（2）=1-

1

e2

②．
故由①②可得，
（

x-lnx

ex

）f（x）＞1-

1

e2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，属于中档题．