Question

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）的单调区间及极值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,直线与圆

分析：（1）求出导数，由条件可得a=2，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，进而得到极值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，即为f′（x）=0有解，运用二次方程的判别式不小于0，解得即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=（x²+1）（x+a）的导数为
f′（x）=2x（x+a）+x²+1=3x²+2ax+1，
若f′（-1）=0，则3-2a+1=0，解得a=2，
f（x）=（x²+1）（x+2），f′（x）=3x²+4x+1，
令f′（x）＞0，解得x＞-

1

3

或x＜-1；
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜-

1

3

．
则函数y=f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（-

1

3

，+∞），
单调减区间为（-1，-

1

3

）；
即有在x=-1处，f（x）取得极大值（1+1）×（-1+2）=2，
x=-

1

3

处，f（x）取得极小值（1+

1

9

）×（-

1

3

+2）=

50

27

．
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，即为
f′（x）=0有解，
即3x²+2ax+1=0有实数解，
则△≥0，即4a²-12≥0，
解得a≥

3

或a≤-

3

．
则a的取值范围是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，考查导数的运用：求单调区间和极值，运用二次不等式的解法和二次方程的判别式是解题的关键．