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定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件.若函数f(x)=
x
(x≥1)
满足利普希茨条件,则常数k的最小值为
 
分析:首先根据函数f(x)=
x
(x≥1)
满足利普希茨条件,得到k满足不等式k≥
x1
-
x2
x1x2|
=
1
x1
+
x2
;然后由x1,x2∈[1,+∞),得
1
x1
+
x2
的取值范围,而k只需大于等于 
1
x1
+
x2
的最大值即可.
解答:解:因为函数f(x)=
x
(x≥1)
满足利普希茨条件,
 所以存在常数k,使得对定义域[1,+∞)内的任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,
 不妨设x1>x2,则k≥
x1
-
x2
x1-x2
=
1
x1
+
x2

 而0<
1
x1
+
x2
1
2
,所以k的最小值为
1
2

故答案为
1
2
点评:本题主要考查对新信息的理解力;及分离参数利用不等式求最值的方法.
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,,均有:|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称f(x)在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件.对于函数f(x)=sinx满足利普希茨条件,则常数k的最小值为
 

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定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,,均有:|f(x1)-f(x2)|≥k|x1-x2|成立,则称f(x)在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件.对于函数f(x)=lnx+
12
x2
在区间(0,+∞)满足利普希茨条件,则常数k的最大值为
 

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定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤k(x1-x2|成立,则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件.对于函数f(x)=
x
(x≥1)满足利普希茨条件,则常数k的最小值应是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(理)定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有:|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称f(x)在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件.
(1)试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k的值,并加以验证;
(2)若函数f(x)=
x+1
在[1,+∞)
上满足利普希茨(Lipschitz)条件,求常数k的最小值;
(3)现有函数f(x)=sinx,请找出所有的一次函数g(x),使得下列条件同时成立:
①函数g(x)满足利普希茨(Lipschitz)条件;
②方程g(x)=0的根t也是方程f(
4
)=
2
sin(
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1

③方程f(g(x))=g(f(x))在区间[0,2π)上有且仅有一解.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x12-x22|成立,则称函数f(x)在定义域D上满足类利普希茨条件.对于函数f(x)=
x
(x≥1)
满足利普希茨条件,则常数k的最小值应是(  )

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