Question

下面是三位同学的说法,请判断正误:

甲生:有穷数列1,3,5,7,…,2n－3的项数为n；

乙生:数列{－0.3n²+2n+7}中的最大项的值为；

丙生:若函数y=f(x)不单调,则数列{f(n)}也不单调.

Answer 1

解:三位同学的说法都是错误的.

甲同学看见最后一项是2n－3,就认为一共有n项,其实这个数列的通项公式为a_n=2n－1,上面的项依次为n取1,2,3,…,n－1时的值,故一共只有n－1项.

乙同学把数列的通项公式a_n=－0.3n²+2n+7与二次函数y=－0.3x²+2x+7混为一谈.可以借助函数的性质来研究数列的性质.

∵－0.3<0,此二次函数的对称轴x=－=,

又n∈N^*,而与最接近的整数为3,

故当n=3时,a_n最大.

丙同学与乙同学犯了相同的错误,二者虽然法则都为f,但定义域不同,可致使函数不单调,而数列单调.如二次函数y=5x²－x+1在其定义域R上不单调,但数列{5n²－n+1}是单调递增  数列.

点评:虽然数列可以看成一个函数,但由于它的定义域是{1,2,…,n}或N^*,因此,数列也有它的特殊性,在解题时应引起注意.