Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为

5

3

，焦点F₁、F₂在x轴上，椭圆G上一点N到F₁和F₂的距离之和为6．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若∠F₁NF₂=90°，求△NF₁F₂的面积；
（3）若过点M（-2，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，利用椭圆的定义得到2a=6，再利用椭圆的离心率公式列出关于a，c的方程，求出c，利用椭圆中的三个参数的关系求出b，写出椭圆的方程．
（2）利用直角三角形的勾股定理及椭圆的定义得到关于|NF₁|，|NF₂|的方程，求出|NF₁|•|NF₂|的值，利用直角三角形的面积公式求出△NF₁F₂的面积．
（3）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理得到相交弦的中点横坐标，列出方程求出直线的斜率，得到直线的方程．

解答：解：（1）设椭圆G的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）半焦距为c．
则

2a=6 c a = 5 3

，
解得

a=3 c= 5

，
∴b²=a²-c²=9-5=4
所以椭圆G的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）若∠F₁NF₂=90°，
则在Rt△NF₁F₂中，|NF₁|²+|NF₂|²=|F₁F₂|²=20．
又因为|NF₁|+|NF₂|=6
解得|NF₁|•|NF₂|=8，
所以S△NF1F2=

1

2

|NF1|•|NF2|=4
（3）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），M的坐标为（-2，1），
当k不存在时，A、B关于点M对称显然不可能．
从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，
代入椭圆G的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
△=（36k²+18k）²-4（4+9k²）（36k²+36k-27）=16×9（5k²-4k+3）
=16×45[(k-

2

5

)2+

11

25

]＞0
因为A，B关于点M对称，
所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
所以直线l的方程为y=

8

9

(x+2)+1，
即8x-9y+25=0（经检验，符合题意）．

点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．