Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(

π

6

)|对一切x∈R恒成立，则   
①f(-

π

12

)=0；    
②f（x）的图象关于x=

π

6

对称；
③f（x）的单调递减区间是[kπ+

π

6

， kπ+

2π

3

] (k∈Z)；
④|f(

7π

12

)|＞|f(

π

5

)|；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是

 

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析：化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（

π

6

）是三角函数的最值，得到x=

π

6

是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+

1

2

π，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+θ）
由f（x）≤|f（

π

6

）|可得f（

π

6

）为函数f（x）的最值，得到x=

π

6

是三角函数的对称轴，
∴2×

π

6

+θ=kπ+

1

2

π，∴θ=kπ+

π

6

，
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

）
对于①f（-

π

12

）=±

a2+b2

sin[2×（-

π

12

）+

π

6

]=0，故①对；
对于②，由f（x）≤|f（

π

6

）|可得f（

π

6

）为函数f（x）的最值，得到x=

π

6

是三角函数的对称轴，故②对；
对于③，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故[kπ+

π

6

， kπ+

2π

3

] (k∈Z)不一定是增区间，故③不对；
对于④，|f（

7π

12

）|=

a2+b2

|sin（

7π

6

+

π

6

）|=

3(a2+b2)

2

，
|f（

π

5

）|=

a2+b2

|sin（

2π

5

+

π

6

）|=

a2+b2

|sin（

17π

30

）|＜

a2+b2

|sin（

2π

3

）=

3(a2+b2)

2

，
∴|f(

7π

12

)|＞|f(

π

5

)|，故④对；
对于⑤要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞

a2+b2

，b²＞a²+b²这不可能，矛盾，
故存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象相交，故⑤对；
故答案为：①②④⑤

点评：本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．