Question

对于数列{a_n}，定义数列{b_m}如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）设{a_n}是单调递增数列，若a₃=4，则b₄=

 

；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，n∈N^*，则数列{b_m}的通项是

 

．

Answer 1

分析：利用新定义数列{b_m}如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值可以直接求解．（Ⅰ）由题意a_n≥4的最小的n为3，也就是 b₄=3．（Ⅱ）满足a_n≥m的最小的n为[

m+1

2

+

1

2

]=[

m

2

]+1（其中[x]表示不超过x的最大整数）．

解答：解：（Ⅰ）因为 {a_n}单调递增，所以，当n＞3时，a_n＞4，当n=3时，a_n=4；
所以，a_n≥4的最小的n为3，也就是 b₄=3．
（Ⅱ）设a_n≥m，则2n-1≥m，n≥

m+1

2

，
所以，满足a_n≥m的最小的n为[

m+1

2

+

1

2

]=[

m

2

]+1（其中[x]表示不超过x的最大整数）；
即b_m=[

m

2

]+1，即当m是奇数时，bm=

m+1

2

，当m是偶数时bm=

m+2

2

故答案为3；bm =

m+1 2 ，m是奇数 m+2 2 ，m是偶数

点评：本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．