已知函数
(1)判定并证明函数的奇偶性;
(2)试证明在定义域内恒成立;
(3)当时,
恒成立,求m的取值范围.
(1)偶函数,(2)详见解析,(3).
解析试题分析:(1)判定函数的奇偶性,首先判定定义域是否关于原点对称,定义域为:关于原点对称,其次研究
与
的相等或相反的关系:
所以
为偶函数,(2)由于函数
为偶函数,所以只需证明
时
,当
时,
,
,
恒成立,当
时,所以
,由(1)可知:
,综上所述,
在定义域内恒成立(3)恒成立问题一般利用变量分离法转化为最值问题.
恒成立对
恒成立,∴
,∴
,令
可证
在[1,3]上为减函数 ∴
对
恒成立 ∴
,所以m的取值范围是
.
试题解析:解:(1)为偶函数,证明如下:
定义域为:
关于原点对称,
对于任意有: 2分
成立
所以为偶函数 5分
(2)因为定义域为:
,
当时,
,
,
恒成立, 7分
当时,所以
,由(1)可知:
9分
综上所述,在定义域内恒成立 10分
(3)恒成立对
恒成立,
∴ ,∴
,令
证明在[1,3]上为减函数(略)(不证明单调性扣2分)
∴对
恒成立 12分
∴
所以m的取值范围是 14分
考点:函数奇偶性,函数单调性
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(满分16分)已知函数,其中
是自然对数的底数.
(1)证明:是
上的偶函数;
(2)若关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)已知正数满足:存在
,使得
成立,试比较
与
的大小,并证明你的结论.
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