函数y=2x3―3x2―12x+5在[0,3]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16
科目:高中数学 来源:黑龙江省鹤岗一中2011-2012学年高一上学期期中考试数学理科试题 题型:013
下列给出的函数中,是幂函数的是
A.y=3x
B.y=2x3
C.y=x-3
D.y=x3-1
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科目:高中数学 来源:101网校同步练习 高二数学 苏教版(新课标·2004年初审) 苏教版 题型:044
求下列函数的导数(先设中间变量,再求导).
(1)y=(5x-3)4
(2)y=(2+3x)5
(3)y=(2-x2)3
(4)y=(2x3+x)2
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科目:高中数学 来源:全优设计选修数学-1-1苏教版 苏教版 题型:044
求下列多项式函数的导函数.
(1)y=2x3-3x2+5x-4;
(2)y=(2x2+3)(3x-2).
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依题意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)设切点为(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切线过点A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.
∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2
画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范围是(-6,2).
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