Question

已知函数R）.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；
（3）当，且时，证明：

Answer 1

(1);(2)详见解析.

解析试题分析：（1）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得．
（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．
（3）由（2）知，当a=1时，函数f(x)＝，在[1，+∞）上是单调减函数，且f(1)＝＝1，从而证得结论．.
试题解析：解：（1）函数
所以又曲线处的切线与直线平行，所以             4分；
（2）令
当x变化时，的变化情况如下表：

	+	0	—
		极大值

由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是
所以处取得极大值，       8分；
（3）当由于
只需证明
令
因为，所以上单调递增，
当即成立。
故当时，有          12分；
考点：1.利用导数研究函数的极值；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数研究曲线上某点切线方程．