Question

证明：若在（a，b）内f″（x）＞0，则f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂），其中λ₁+λ₂=1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：证明题,导数的综合应用

分析：由题意可判断f（x）是定义在闭区间[a，b]上凸函数，再由凸函数的定义证明．

解答： 证明：∵在（a，b）内f″（x）＞0，
∴f（x）是定义在闭区间[a，b]上凸函数；
而根据上凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”；
故取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，
而任意正数λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）；
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）对于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

点评：本题考查了凸函数的判断与凸函数的定义的应用及判断，属于基础题．