Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，右焦点到直线y=x的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知点M（2，1），斜率为

1

2

的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂；
①若直线l过椭圆的左顶点，求k₁，k₂的值；    
②试猜测k₁，k₂的关系，并给出你的证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆的右焦点（c，0），由右焦点到直线y=x的距离为

3

，可得

c

2

=

3

，解得c．又由椭圆的离心率为

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解出即可．
（II）①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=

1

2

x+

2

，联立方程组

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，解得，再利用斜率计算公式即可得出；
②设在y轴上的截距为b，直线l的方程为y=

1

2

x+b．与椭圆方程联立可得x²+2bx+2b²-4=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点（c，0），
由右焦点到直线y=x的距离为

3

，∴

c

2

=

3

，解得c=

6

又由椭圆的离心率为

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，解得a²=8，b²=2，
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ） ①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=

1

2

x+

2

，
联立方程组

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，解得

x1=0 y1= 2

或

x2=-2 2 y2=0

，
故k1=-

2 -1

2

，k2=

2 -1

2

．
②设在y轴上的截距为b，∴直线l的方程为y=

1

2

x+b．
由

y= 1 2 x+b x2+4y2=8

     得x²+2bx+2b²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂═-2b，x₁x₂=2b²-4．
又k1=

y1-1

x2-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
所以上式分子=(

1

2

x1+b-1)(x2-2)+(

1

2

x2+b-1)(x1-2)=x₁x₂+（b-2）（x₁+x₂）-4（b-1）=2b²-4+（b-2）（-2b）-4（b-1）=0，
故k₁+k₂=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．