Question

抛物线x²=

1

2

y在第一象限内图象上一点（a_i，2a_i²）处的切线与x轴交点的横坐标记为a_i+1，其中i∈N^*，若a₂=32，则a₂+a₄+a₆等于（　　）

• A、64
• B、42
• C、32
• D、21

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：由y=2x²（x＞0），求出x²=

1

2

y在第一象限内图象上一点（a_i，2a_i²）处的切线方程是：y-2a_i²=4a_i（x-a_i），再由切线与x轴交点的横坐标为a_i+1，知a_i+1=

1

2

a_i，所以{a_2k}是首项为a₂=32，公比q=

1

4

的等比数列，由此能求出a₂+a₄+a₆．

解答： 解：∵y=2x²（x＞0），
∴y′=4x，
∴x²=

1

2

y在第一象限内图象上一点（a_i，2a_i²）处的切线方程是：y-2a_i²=4a_i（x-a_i），
整理，得4a_ix-y-2a_i²=0，
∵切线与x轴交点的横坐标为a_i+1，
∴a_i+1=

1

2

a_i，
∴{a_2k}是首项为a₂=32，公比q=

1

4

的等比数列，
∴a₂+a₄+a₆=32+8+2=42．
故选：B．

点评：本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．