Question

已知直线l的参数方程为

x=1+ 2 t y= 2 t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=

sinθ

1-sin2θ

．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线l的距离的最小值，并求出 P点的坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵

x=1+ 2 t y= 2 t

，
∴x-y=1．
∴直线的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ=1．
即

2

ρ(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)=1，
即

2

ρcos(θ+

π

4

)=1．
∵ρ=

sinθ

1-sin2θ

，
∴ρ=

sinθ

cos2θ

，
∴ρcos²θ=sinθ，
∴（ρcosθ）²=ρsinθ
即曲线C的普通方程为y=x²．
（2）设P（x₀，y₀），
y0=x02，
∴P到直线的距离：
d=

|x0-y0-1|

2

=

|x0-x02-1|

2

=

|-(x0- 1 2 )2- 3 4 |

2

=

(x0- 1 2 )2+ 3 4

2

．
∴当x0=

1

2

时，dmin=

3 2

8

，
∴此时P(

1

2

，

1

4

)，
∴当P点为(

1

2

，

1

4

)时，P到直线的距离最小，最小值为

3 2

8

．

点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．