Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-（tanα+cotα）x+1=0的一个实数根是$2-\sqrt{3}$，求sin2α和cos4α的值．

Answer 1

分析 根据一元二次方程的根与系数的关系，可得tanα+cotα=4．“切化弦”即可求解sin2α和cos4α的值．

解答 解：由题意，一元二次方程x²-（tanα+cotα）x+1=0的一个实数根是$2-\sqrt{3}$，
那么：另一个根为2$+\sqrt{3}$．
则tanα+cotα=4，即$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{sinαcosα}=4$，可得sinαcosα=$\frac{1}{4}$．
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{1}{2}$
cos4α=1-2sin²2α=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，二倍角公式的计算．属于基础题．