Question

设

a

=（-1，1），

b

=（4，3），

c

=（5，-2），
（1）求证

a

与

b

不共线，并求

a

与

b

的夹角的余弦值；
（2）求

c

在

a

方向上的投影；
（3）求λ₁和λ₂，使

c

=λ₁

a

+λ₂

b

．

Answer 1

分析：（1）两向量共线其坐标交叉相乘相等，据cos＜

a

，

b

＞=

a•b

|a||b|

求夹角
（2）

c

在

a

方向上的投影为

a•c

|a|

（3）向量相等坐标分别相等

解答：解：（1）∵

a

=（-1，1），

b

=（4，3），且-1×3≠1×4，∴

a

与

b

不共线．
又

a

•

b

=-1×4+1×3=-1，|

a

|=

2

，|

b

|=5，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a•b

|a||b|

=

-1

5 2

=-

2

10

．
（2）∵

a

•

c

=-1×5+1×（-2）=-7，
∴

c

在

a

方向上的投影为

a•c

|a|

=

-7

2

=-

7

2

2

．
（3）∵

c

=λ₁

a

+λ₂

b

，
∴（5，-2）=λ₁（-1，1）+λ₂（4，3）
=（4λ₂-λ₁，λ₁+3λ₂），
∴

4λ2-λ1=5 λ1+3λ2=-2

，解得

λ1=- 23 7 λ2= 3 7

点评：本题考查向量共线坐标形式的充要条件；求向量的夹角；向量相等．