【题目】已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l: x+y﹣a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.
(1)若a=8,切点T( ,﹣1),求直线AP的方程;
(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意,直线PT切于点T,则OT⊥PT,
又切点T( ,﹣1),∴kOT=﹣ ,kPT=﹣ = ,
∴直线PT的方程为y+1= (x﹣ ),即 ,
联立直线l和PT, ,解得x=2 ,y=2,即P(2 ,2),
∴直线AP的斜率为k= = ,
∴直线AP的方程为y= ,即( )x﹣2y+2 ﹣2=0
(2)解:设P(x,y),由PA=2PT,得(x+2)2+y2=4(x2+y2﹣4),即3x2+3y2+4x﹣20=0,
即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆(x﹣ )2+y2= .
∴问题可转化为直线 与圆(x﹣ )2+y2= 有公共点,
∴d= ≤ ,即| | ,
解得 .
∴实数a的取值范围是[ , ]
【解析】(1)由题意,直线PT切于点T,则OT⊥PT,求出直线PT的方程,联立直线l和PT,得P(2 ,2),由此能求出直线AP的方程.(2)设P(x,y),由PA=2PT,得满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆(x﹣ )2+y2= .问题可转化为直线 与圆(x﹣ )2+y2= 有公共点,由此能求出实数a的取值范围.
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【题目】某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为2,4,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(I)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
( II)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}. (Ⅰ)求A∩B,A∪B;
(Ⅱ)已知非空集合C={x|1<x≤a},若CA,求实数a的取值范围.
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【题目】设函数g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,(m∈R).
(1)当m=1时,求函数y=g(x)在点(1,0)处的切线方程;
(2)当m=﹣12时,求f(x)的极小值;
(3)若函数y=g(x)在x∈( ,+∞)上的两个不同的数a,b(a<b)处取得极值,记{x}表示大于x的最小整数,求{g(a)}﹣{g(b)}的值(ln2≈0.6931,ln3≈1.0986).
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【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,AB=2,AA1=6.若E,F分别是棱BB1 , CC1上的点,且BE=B1E,C1F= CC1 , 则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为( )
A.﹣
B.
C.﹣
D.
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【题目】定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)= ,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,例如y=|x|是[﹣2,2]上的平均值函数,0就是它的均值点,若函数f(x)=x2﹣mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣1,1]
B.(0,2)
C.[﹣2,2]
D.(0,1)
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【题目】函数y=loga(x+2)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则 + 的最小值为( )
A.3+2
B.3+2
C.7
D.11
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【题目】已知,分别是椭圆的左、右焦点.
(1)若点是第一象限内椭圆上的一点, ,求点的坐标;
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x﹣2)﹣ ,(a为常数且a≠0),若f(x)在x0处取得极值,且x0[e+2,e2+2],而f(x)≥0在[e+2,e2+2]上恒成立,则a的取值范围( )
A.a≥e4+2e2
B.a>e2+2e
C.a≥e2+2e
D.a>e4+2e2
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