Question

已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明:

(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

Answer 1

证明略

解析:

(1)由f(x)+f(y)=f(),

令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 

∴f(x)=－f(－x)  ∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

令0<x₁<x₂<1,则f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=f()

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，∴>0,

又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0

∴x₂－x₁<1－x₂x₁,

∴0<<1,由题意知f()<0，

即f(x₂)<f(x₁).

∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上为减函数.