Question

19．P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上的右顶点，A，B为椭圆上关于原点对称两点且PA，PB斜率存在，直线PA，PB分别与直线x=3交于M，N两点．
（1）求MN的最小值；
（2）证明以MN为直径的圆过定点．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），又P（2，0），运用椭圆方程，求得k_PA•k_PB=-$\frac{3}{4}$，可设直线PA的斜率为k，PB的斜率为-$\frac{3}{4k}$，求得M，N的坐标，由两点的距离公式和基本不等式，即可得到最小值；
（2）由直径式圆的方程可得以MN为直径的圆的方程，整理成圆系方程，令y=0，解得x，即可得到所求定点．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），又P（2，0），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，
即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{-{y}_{1}}{-{x}_{1}-2}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
即为k_PA•k_PB=-$\frac{3}{4}$，
可设直线PA的斜率为k，PB的斜率为-$\frac{3}{4k}$，
由直线AP、BP分别交直线x=3于M、N点，
可得M（3，k），N（3，-$\frac{3}{4k}$），
故有|MN|=|k+$\frac{3}{4k}$|=|k|+$\frac{3}{4|k|}$≥2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
即有|MN|≥$\sqrt{3}$，当且仅当k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，取得等号．
故线段MN的最小值是$\sqrt{3}$；
（2）证明：由（1）可得M（3，k），N（3，-$\frac{3}{4k}$），
即有以MN为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-k）（y+$\frac{3}{4k}$）=0，
即有（x-3）²+y²+（$\frac{3}{4k}$-k）y-$\frac{3}{4}$=0，
由y=0，可得（x-3）²+y²-$\frac{3}{4}$=0，
解得x=3±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则有以MN为直径的圆过定点（3±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，注意运用设而不求思想，以及基本不等式求最值，考查直径式圆的方程，以及恒过定点的求法，考查运算能力，属于中档题．