如图所示.四棱锥P-ABCD中.PA⊥平面ABCD.PB与底面所成的角为$\frac{π}{4}$.底面ABCD为直角梯形.∠ABC=∠BAD=$\frac{π}{2}$.PA=BC=$\frac{1}{2}$AD．(1)求证:平面PAC⊥平面PCD,(2)在棱PD上是否存在一点E.使CE∥平面PAB?若存在.请确定点E的位置,若不存在.试说明理由．(3)求二面角P-CD-B的余弦值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为$\frac{π}{4}$，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=$\frac{π}{2}$，PA=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定点E的位置；若不存在，试说明理由．
（3）求二面角P-CD-B的余弦值．

分析（1）设PA=1，由勾股定理逆定理得AC⊥CD，根据线面垂直的性质可知PA⊥CD，又PA∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥面PAC，而CD?面PCD，根据面面垂直的判定定理可知面PAD⊥面PCD；
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE，根据面面平行的性质定理可知平面EFC∥平面PAB，又CE?平面EFC，根据面面平行的性质可知CE∥平面PAB，根据线面关系可知E为PD中点，使CE∥面PAB．
（3）根据二面角的定义，得到∠PCA是二面角P-CD-B即P-CD-A的平面角，利用三角形的边角关系进行求解即可．

解答解：（1）设PA=1．由题意PA=BC=1，AD=2．
∵AB=1，BC=$\frac{1}{2}$AD，由∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=$\sqrt{2}$．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
又∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥CD．又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE．
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，
∴平面EFC∥平面PAB．
又CE?平面EFC，
∴CE∥平面PAB．
∵BC=$\frac{1}{2}$AD，AF=BC，
∴F为AD的中点，∴E为PD中点．
故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE∥面PAB．
（3）由（1）知CD⊥面PAC，
∵PC，AC?平面PAC．
∴CD⊥PC，CD⊥AC，
则∠PCA是二面角P-CD-B即P-CD-A的平面角，
∵PA=1，AC=$\sqrt{2}$．
∴PC=$\sqrt{3}$，
则cos∠PCA=$\frac{AC}{PC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即二面角P-CD-B的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评本题主要考查空间线面平行和面面垂直的判断以及二面角的求解，根据相应的判定定理以及二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．

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