Question

【题目】在四棱锥中， ， 且， 和都是边长为2的等边三角形，设在底面的投影为.

（1）求证： 是的中点；

（2）证明： ；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .

【解析】试题分析：（1）， 由底面，得，点为的外心，结合为是直角三角形即可证得；

（2）由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点， 底面，得，再分析条件可证得，从而得面，从而得证；

（3）以点为原点，以所在射线为轴 ， 轴， 轴建系，利用两个面的法向量求解二面角的余弦即可.

试题解析：

（1）证明：∵和都是等边三角形，

∴， 又∵底面，∴，

则点为的外心，又因为是直角三角形，∴点为中点.

（2）证明：由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点，

底面，∴，

∵在中， ， ， ∴，

又且，∴，从而即，

由， 得面，∴.

（3）以点为原点，以所在射线为轴 ， 轴， 轴建系如图，

∵，则， ,

， ， ， ，

设面的法向量为，则，

得， ，

取，得 故.

设面的法向量为，则

， ，取，则，故，

于是，

由图观察知为钝二面角，所以该二面角的余弦值为.