Question

【题目】已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ），即

【解析】

（Ⅰ）根据两条直线及其倾斜角，可求得a、b的关系；由点到直线距离公式得a、b的方程，联立方程求得a、b即可求得椭圆的标准方程。

（Ⅱ）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，消x得关于y的一元二次方程；根据向量共线基本定理，得到两个坐标间的关系，联立方程即可求得m的值，进而得到直线方程。

（Ⅰ）由题意，，

解得，

所以椭圆方程是：

（Ⅱ）设直线：

联立，消得，设，，

则,

……① ……②

，即 ……③

由①③得

由②得

解得或（舍）

直线的方程为：，即