解:(1)由条件,△ABC的面积
,
而b
2+c
2-a
2=2bccosA,
∴
…(3分)
又△ABC的面积
,
由于sin
2A+cos
2A=1,所以
. …(6分)
(2)①由a=3,S=6,b
2+c
2=41
又
,
∴bc=20…(8分)∵b<c,
∴b=4,c=5…(10分)
②由b=4,c=5,∵a=3,∴△ABC为直角三角形
建立如图所示的直角坐标系,则A(4,0),B(0,3)
设△ABC内任意一点D的坐标为(x,y),
它到AB的距离为z,
则
,
而
…(12分)
由图知,(x,y)满足
…(14分)
根据线性规划知识,得
,
所以,d的取值范围为
. …(16分)
分析:(1)利用三角形的面积,结合余弦定理直接求出A的值.
(2)△ABC为直角三角形,建立如图所示的直角坐标系,则A(4,0),B(0,3),设△ABC内任意一点D的坐标为(x,y),设出AB的距离为z,根据面积、距离利用根据线性规划知识,d的取值范围为
.
点评:本题是中档题,考查三角函数与余弦定理的应用,线性规划的知识,考查计算能力.