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已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积数学公式
(1)求角A的正弦值;
(2)若a=3,b<c,S=6,D为△ABC内任意一点,且到三边距离之和为d.①求边b,c的长;②求d的取值范围.

解:(1)由条件,△ABC的面积
而b2+c2-a2=2bccosA,
…(3分)
又△ABC的面积
由于sin2A+cos2A=1,所以. …(6分)
(2)①由a=3,S=6,b2+c2=41

∴bc=20…(8分)∵b<c,
∴b=4,c=5…(10分)
②由b=4,c=5,∵a=3,∴△ABC为直角三角形
建立如图所示的直角坐标系,则A(4,0),B(0,3)
设△ABC内任意一点D的坐标为(x,y),
它到AB的距离为z,

…(12分)
由图知,(x,y)满足…(14分)
根据线性规划知识,得
所以,d的取值范围为. …(16分)
分析:(1)利用三角形的面积,结合余弦定理直接求出A的值.
(2)△ABC为直角三角形,建立如图所示的直角坐标系,则A(4,0),B(0,3),设△ABC内任意一点D的坐标为(x,y),设出AB的距离为z,根据面积、距离利用根据线性规划知识,d的取值范围为
点评:本题是中档题,考查三角函数与余弦定理的应用,线性规划的知识,考查计算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点的A、B、C及平面内一点P满足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,下列结论中正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,若
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,则点P与△ABC的位置关系是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点ABC及平面内一点P满足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若实数λ满足:
AB
+
AC
=λ
AP
,则λ的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)、B(3,1)、C(-1,0),求BC边上的高所在的直线方程.
(2)过椭圆
x2
16
+
y2
4
=1
内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,求此弦所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若实数λ 满足:
AB
+
AC
AP
,则λ的值为(  )
A、3
B、
2
3
C、2
D、8

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