Question

11．已知函数f（x）=3sin²x+acosx-cos²x+a²-1，
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简函数，利用偶函数的定义进行证明即可；
（2）配方，分类讨论，求f（x）的最大值．

解答 解：（1）偶函数，证明如下：
f（x）=3sin²x+acosx-cos²x+a²-1=-4cos²x+acosx+a²+2
∴f（-x）=f（x），函数是偶函数；
（2）f（x）=-4（cosx-$\frac{a}{8}$）²+$\frac{17}{16}{a}^{2}$+2，
a＜-8，f（x）_max=f（-1）=a²-a-2；
-8≤a≤8，f（x）_max=f（$\frac{a}{8}$）=$\frac{17}{16}{a}^{2}$+2；
a＞8，f（x）_max=f（1）=a²+a-2．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数的最大值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．