Question

设函数f（x）=sinx+cosx．
（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²的周期和对称轴；
（Ⅱ）若h（x）=（f（x）-sinx）cos（x-

π

3

），求使h（x）＞

1+ 3

4

成立的x的取值集合．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）首先利用导数的运算化简g（x）为Asin（ωx+φ）的形式，然后求正确以及对称轴；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，化简h（x）的解析式，然后解三角不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=cosx-sinx，
所以   g（x）=）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）²
=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，\
所以周期为T=

2π

2

=π；
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

得对称轴为x=

kπ

2

+

π

8

，（k∈Z）；
（Ⅱ）h（x）=（f（x）-sinx）cos（x-

π

3

）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x
=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
由h（x）＞

1+ 3

4

得sin（2x+

π

6

）＞

3

2

，
所以2kπ+

π

3

＜2x+

π

6

＜2kπ+

2π

3

，解得kπ+

π

12

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z，
所以满足条件的x的集合为{x|kπ+

π

12

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}．

点评：本题考查了导数的运算以及三角函数恒等式的化简以及相关性质的解答．