Question

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₂的直线l与椭圆交于A，B两点，四边形F₁ACB为平行四边形，O为坐标原点，且|OC|=

53

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：a=

2

c，并且bc=1，所以a=

2

，b=1，进而求出椭圆的方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，求出点A与B的坐标，结合题意可得所以C（3，0），所以|OC|=3≠

53

3

，进而得到直线l的斜率存在；设直线l的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程：
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，x1+x2=

4k2

1+2k2

，由题意得C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．因为|OC|=

53

3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

53

9

，所以结合韦达定理可求出k²=1，即k=±1，进而得到直线方程．

解答：解：（1）因为离心率为

2

2

，
所以a=

2

c．
又因为两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2，
所以bc=1．
因为a²=b²+c²，
所以a=

2

，b=1．
所以椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1
（2）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为：x=1，
所以A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

）．
因为四边形F₁ACB为平行四边形，
所以C（3，0），所以|OC|=3≠

53

3

，
所以直线l的斜率不存在不符合题意，即直线l的斜率存在；
设直线l的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
由题意可得：△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，
因为四边形F₁ACB为平行四边形，
所以C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．
因为|OC|=

53

3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

53

9

，
所以结合韦达定理可求出k²=1，即k=±1，
所以所求直线的方程为：y=±（x-1）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆有关数值之间的关系，以及椭圆与直线的位置关系并且结合韦达定理解决问题．