Question

已知函数f（x）=x³-log₂（

x2+1

-x），则对于任意实数a、b（a+b≠0），

f(a)+f(b)

a3+b3

的值（　　）

• A、恒大于0
• B、恒小于1
• C、恒大于-1
• D、不确定

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数式子可判断f（x）为单调递增函数，f（x）为单调递增函数．

f(a)+f(b)

a3+b3

=

f(a)+f(b)

(a2-ab+b2)(a+b)

判断符号即可．

解答： 解：∵f（x）=x³-log₂（

x2+1

-x）=x³+log₂（

x2+1

+x），
∴根据解析式可判断f（x）为单调递增函数．
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，
∵f（-x）=（-x）³+log₂（

x2+1

-x）=-（x³+log₂（

x2+1

+x）=-f（x）
∴f（-x）=-f（x）即f（x）为单调递增函数．
∵

f(a)-f(-b)

a-(-b)

＞0，a²-ab+b²＞0，任意实数a、b（a+b≠0），
∴

f(a)+f(b)

a3+b3

=

f(a)+f(b)

(a2-ab+b2)(a+b)

＞0
故选：A

点评：本题综合考查了函数的性质，运用解决问题，属于中等题．