Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），P点的纵坐标为a且点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A
（1）若t=0，MP=

5

，求直线PA的方程；
（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，
①将DO²表示成a的函数f（a），并写出定义域．
②求线段DO长的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（2a，a），由勾股定理结合题中数据建立关于a的方程，解之得a=1，得P（2，1）．因此设直线PA的方程为y-1=k（x-2），利用点到直线的距离公式结合题意得出

|-2-2k+1|

1+k2

=1，解之即可得到直线PA的方程；
（2）①由圆的性质结合PA与圆M相切，算出D的坐标(a，

a

2

+1)，再利用两点的距离公式得到DO²关于a的二次函数表达式，从而得到DO²表示成a的函数f（a），并给出其定义域；
②根据二次函数的性质，得到f(a)min=f(

t

2

+2)=

15

16

t2+3t+8，再根据t＜-

24

5

分三种情况加以讨论，分别结合二次函数的单调性求出最小值，最后综合可得线段DO的最小值关于a的分段形式的表达式，得到本题答案．

解答：解：（1）∵点B、C是直线l：x-2y=0上的两点，
∴可设P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(0，2)，MP=

5

，∴

(2a)2+(a-2)2

=

5

．
解得a=1或a=-

1

5

（舍去），可得P（2，1）．
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
可得直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直线PA与圆M相切，
∴

|-2-2k+1|

1+k2

=1，解得k=0或k=-

4

3

．
因此直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0．
（2）①∵PA与圆M相切于点A，∴PA⊥MA．
∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
∵M（0，2），∴D的坐标是(a，

a

2

+1)．
可得DO²=f(a)=a2+(

a

2

+1)2=

5

4

a2+a+1=

5

4

(a+

2

5

)2+

4

5

．（a∈[

t

2

，

t+4

2

]）
②f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8（t＜-

24

5

）
当

t

2

＞-

2

5

，即t＞-

4

5

时，f(a)min=f(

t

2

)=

5

16

t2+

t

2

+1；
当

t

2

≤-

2

5

≤

t

2

+2，即-

24

5

≤t≤-

4

5

时，f(a)min=f(-

2

5

)=

4

5

；
当

t

2

+2＜-

2

5

，即t＜-

24

5

时f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
所以线段DO长的最小值为：L(t)=

1 4 5t2+8t+16 ，t＞- 4 5 2 5 5 ，- 24 5 ≤t≤- 4 5 1 4 5t2+48t+128 ，t＜- 24 5

．

点评：本题给出直线与圆相切，求切线的方程并求线段长的最小值．着重考查了圆的方程、直线的方程、直线与圆的位置关系和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．