Question

11．椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，经过P₁（$\sqrt{6}$，1），P₂（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，定点A（0，$\sqrt{3}$），若|AM|=|AN|，求直线1的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的方程为mx²+ny²=1，代点解关于mn的方程组可得；
（2）利用点差法，结合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，从而可得E的坐标，利用E在椭圆内部，解关于k的不等式可得．

解答 解：（1）由题意设椭圆的方程为mx²+ny²=1，其中m，n为不相等的正数，
代入P₁（$\sqrt{6}$，1），P₂（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）可得6m+n=1且3m+2n=1，
解方程组可得m=$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{3}$，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中点E（x₀，y₀），
则由MN在椭圆C上可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
两方程相减可得$\frac{1}{9}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{1}{3}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴$\frac{1}{9}$x₀（x₁-x₂）+$\frac{1}{3}$y₀（y₁-y₂）=0，即k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{0}}{3{y}_{0}}$①
又AE⊥MN，故$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$，即k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-\sqrt{3}}$②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3\sqrt{3}k}{2}}\\{{y}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∵E在椭圆内部，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$＜1，
∴代入可得$\frac{3}{4}$k²+$\frac{1}{4}$＜1，
∴k²＜1，又k≠0，
∴-1＜k＜1且k≠0

点评 本题考查椭圆的性质与标准方程，正确运用点差法是解决问题的关键，属中档题．