Question

5．已知cos（α+β）=$\frac{1}{5}$，cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．
（1）求tanαtanβ的值；
（2）若α+β∈（0，π），α-β∈（-$\frac{3}{2}$π，0），求cos2β的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosαcosβ和sinαsinβ的值，可得tanαtanβ的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）和sin（α-β）的值，从而求得cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]的值．

解答 解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{1}{5}$，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}$，
∴cosαcosβ=$\frac{2}{5}$，sinαsinβ=$\frac{1}{5}$，
相除可得tanαtanβ=$\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由α+β∈（0，π），α-β∈（-$\frac{3}{2}$π，0），cos（α+β）=$\frac{1}{5}$，cos（α-β）=$\frac{3}{5}$，
可得sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，α-β∈（-$\frac{1}{2}$π，0），
∴sin（α-β）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=$\frac{1}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{2\sqrt{6}}{5}$×（-$\frac{4}{5}$）=$\frac{3-8\sqrt{6}}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．