Question

5．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，EF⊥PB交PB于点F．
（Ⅰ）求点C到平面BDE的距离；
（Ⅱ）证明：PB⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用V_C-BED=V_E-BCD，求点C到平面BDE的距离；
（Ⅱ）证明：DE⊥平面PCB，得出DE⊥PB，又EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面DEF．

解答 （Ⅰ）解：取CD的中点O，连结EO，则EO∥PD．（1分）
∵PD⊥底面ABCD，PD=2，
∴EO⊥底面ABCD，$EO=\frac{1}{2}PD=1$．  （2分）
∵ABCD是正方形且DC=2，∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}BC•DC=\frac{1}{2}×2×2=2$，∴${V_{E-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•EO=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$．（3分）
在Rt△PDC中，$DE=\frac{1}{2}PC=\sqrt{2}$．在Rt△BCE中，$BE=\sqrt{B{C^2}+C{E^2}}=\sqrt{6}$．
在Rt△BAD中，$BD=2\sqrt{2}$．
因为BD²=BE²+DE²，所以BE⊥DE．（4分）
∴${S_{△BED}}=\frac{1}{2}DE•BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$．
设点C到平面BDE的距离为h，则${V_{C-BED}}=\frac{1}{3}{S_{△BED}}•h=\frac{{\sqrt{3}h}}{3}$．（5分）
∵V_C-BED=V_E-BCD，即$\frac{{\sqrt{3}h}}{3}=\frac{2}{3}$，解得$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故点C到平面BDE的距离为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．（6分）
（Ⅱ）证明：∵PD⊥底面ABCD且BC?底面ABCD，∴PD⊥BC．
因为ABCD是正方形，所以BC⊥DC．
又PD∩DC=D，所以BC⊥平面PDC．（7分）
因为DE?平面PDC，所以BC⊥DE．（8分）
因为DE是等腰直角三角形PDC斜边PC上的中线，所以DE⊥PC．（9分）
又PC∩BC=C，所以DE⊥平面PCB．（10分）
因为PB?平面PCB，所以DE⊥PB．（11分）
又EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面DEF．（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．