Question

已知函数f（x）=x-1-alnx．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a＜0，且对任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,绝对值不等式的解法

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，求出导函数的零点，可得函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递增，且y=

1

x

在（0，1]上递减．设h(x)=f(x)+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，则|f(x1)-f(x2)|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等价于h（x）在（0，1]上是减函数．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x-1-2lnx，f′（x）=1-

2

x

（x＞0），
因而f（1）=0，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-0=-（x-1），
即x+y-1=0
（Ⅱ）f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，(x＞0)
①当a≤0时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递增，且y=

1

x

在（0，1]上递减．
不妨设0＜x₁≤x₂≤1，则|f(x1)-f(x2)|≤4|

1

x1

-

1

x2

|?f(x2)-f(x1)≤

4

x1

-

4

x2

?f(x2)+

4

x2

≤f(x1)+

4

x1

设h(x)=f(x)+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
则|f(x1)-f(x2)|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等价于h（x）在（0，1]上是减函数．
又h′(x)=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x

，
所以等价于x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，
注意到x-

4

x

在（0，1]上递增，所以只需a≥(x-

4

x

)max=-3
又a＜0，从而-3≤a＜0

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．