Question

6．在二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列．
（I）求展开式中的常数项；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （I）有条件利用等差数列的定义求得n的值，可得二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．
（Ⅱ）设第r+1项的系数最大，则由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{r}{•（\frac{1}{2}）}^{r}{≥C}_{8}^{r+1}{•（\frac{1}{2}）}^{r+1}}\\{{C}_{8}^{r}{•（\frac{1}{2}）}^{r}{≥C}_{8}^{r-1}{•（\frac{1}{2}）}^{r-1}}\end{array}\right.$，求得r的值，可得系数最大的项．

解答 解：（I）二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，前三项系数分别为 1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$，
再根据前三项系数成等差数列，可得 n=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，求得n=8或n=1（舍去）．
故二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^-r•x^4-r．
令4-r=0，求得 r=4，可得展开式的常数项为 T₅=${C}_{8}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
（Ⅱ）设第r+1项的系数最大，则由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{r}{•（\frac{1}{2}）}^{r}{≥C}_{8}^{r+1}{•（\frac{1}{2}）}^{r+1}}\\{{C}_{8}^{r}{•（\frac{1}{2}）}^{r}{≥C}_{8}^{r-1}{•（\frac{1}{2}）}^{r-1}}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{3r≥6}\\{3r≤9}\end{array}\right.$，即2≤r≤3，
故r=2 或r=3，故第三项或第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为 T₃=7x²，T₄=7x．

点评 本题主要考查等差数列的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．