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6.在二项式($\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$)n的展开式中,前三项系数成等差数列.
(I)求展开式中的常数项;
(Ⅱ)求展开式中系数最大的项.

分析 (I)有条件利用等差数列的定义求得n的值,可得二项式($\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$)n的展开式的通项公式,在通项公式中,令x的幂指数等于零,求得r的值,可得展开式的常数项.
(Ⅱ)设第r+1项的系数最大,则由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{r}{•(\frac{1}{2})}^{r}{≥C}_{8}^{r+1}{•(\frac{1}{2})}^{r+1}}\\{{C}_{8}^{r}{•(\frac{1}{2})}^{r}{≥C}_{8}^{r-1}{•(\frac{1}{2})}^{r-1}}\end{array}\right.$,求得r的值,可得系数最大的项.

解答 解:(I)二项式($\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$)n的展开式中,前三项系数分别为 1,$\frac{n}{2}$,$\frac{n(n-1)}{8}$,
再根据前三项系数成等差数列,可得 n=1+$\frac{n(n-1)}{8}$,求得n=8或n=1(舍去).
故二项式($\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$)n的展开式的通项公式为 Tr+1=${C}_{8}^{r}$•2-r•x4-r
令4-r=0,求得 r=4,可得展开式的常数项为 T5=${C}_{8}^{4}$•${(\frac{1}{2})}^{4}$=$\frac{35}{8}$.
(Ⅱ)设第r+1项的系数最大,则由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{r}{•(\frac{1}{2})}^{r}{≥C}_{8}^{r+1}{•(\frac{1}{2})}^{r+1}}\\{{C}_{8}^{r}{•(\frac{1}{2})}^{r}{≥C}_{8}^{r-1}{•(\frac{1}{2})}^{r-1}}\end{array}\right.$,求得$\left\{\begin{array}{l}{3r≥6}\\{3r≤9}\end{array}\right.$,即2≤r≤3,
故r=2 或r=3,故第三项或第四项的系数最大,再利用通项公式可得系数最大的项为 T3=7x2,T4=7x.

点评 本题主要考查等差数列的定义,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于中档题.

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