Question

已知函数．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦哈斯公式化简，后两项变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调递增区间即可得到f（x）的递增区间；
（II）由第一问确定的f（x）解析式，利用平移规律得到平移后的函数解析式g（x），由x的范围求出4x的范围，求出g（x）的最小值与最大值，即可得出g（x）的值域．
解答：解：（I）∵f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），
∴函数f（x）的最小正周期为T=π；
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得：-+kπ≤≤+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z；
（II）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，
得到y=2sin（4x-），
再把所得的图象向左平移个单位得到g（x）=2cos4x，
当x∈[-，]时，4x∈[-，]，
∴当x=0时，g（x）_max=2；当x=-时，g（x）_min=-1，
∴y=g（x）在区间[-，]上的值域为[-1，2]．
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，余弦函数的定义域与值域，以及平移规律，熟练掌握公式是解本题的关键．