Question

已知盒中装有3个红球和4个黑球，且每球摸到的机会均等．
（Ⅰ）现从该盒中摸3次球，每次摸一个，记下颜色后放回原盒中，问3次中恰有两次摸到红球的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人从该盒中各一次性摸出3个球（摸后不放回），设甲摸到的红球数为m，乙摸到的红球数为n，令X=|m-n|，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）由题意可知：每次摸一个球并且放回，则摸到红球的概率p=

3

7

．设3次中摸到红球的次数为随机变量ξ，则ξ～B（3，

3

7

），即可得出；
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．利用相互独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答：解：（I）由题意可知：每次摸一个球并且放回，则摸到红球的概率p=

3

7

．
设3次中摸到红球的次数为随机变量ξ，则ξ～B（3，

3

7

），
∴3次中恰有两次摸到红球的概率P=

C

2 3

(

3

7

)2(1-

3

7

)=

108

343

．
（II）由题意可知：X可能取值0，1，2，3．
①当甲摸到0个红球时，则乙可能摸到红球的个数为2，3；
②当甲摸到1个红球时，则乙可能摸到红球的个数为1，2；
③当甲摸到2个红球时，乙可能摸到红球的个数为1；或摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况；
④当甲摸到3个红球时，则乙可能摸到红球的个数为0．
因此X=0表示的是甲乙两个人都摸到一个红球时，
∴P（X=0）=

C 1 3 C 2 4 • C 1 2 C 2 2

C 3 7 C 3 4

=

9

35

．
X=1表示的是甲摸到一个红球乙摸到两个红球，甲摸到两个红球乙摸到一个红球两种情况：
∴P（X=1）=

C 1 3 C 2 4 • C 2 2 C 1 2

C 3 7 C 3 4

+

C 2 3 C 1 4 • C 1 1 C 2 3

C 3 7 C 3 4

=

18

35

．
X=2表示的是甲摸到0个红球乙摸到两个红球，甲摸到2个红球乙摸到0个红球两种情况：
∴P（X=2）=

C 3 4 • C 2 3 C 1 1

C 3 7 C 3 4

+

C 2 3 C 1 4 • C 3 3

C 3 7 C 3 4

=

6

35

．
X=3表示的是甲摸到0个红球乙摸到3个红球，甲摸到3个红球乙摸到0个红球两种情况：
P（X=3）=

C 3 4 • C 3 3

C 3 7 C 3 4

+

C 3 3 C 3 4

C 3 7 C 3 4

=

2

35

．
故X的分布列为：

X	0	1	2	3
p	9 35	18 35	6 35	2 35

点评：本题考查了二项分布列、相互独立事件和互斥事件的概率计算公式及其数学期望，属于难题．