【题目】设,,函数.
(Ⅰ)设不等式的解集为C,当时,求实数取值范围;
(Ⅱ)若对任意,都有成立,试求时,的值域;
(Ⅲ)设,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).(Ⅲ)当时,函数的最小值为;当时,函数的最小值为;当时,函数的最小值为
【解析】
(Ⅰ)根据,且,可知满足题意的条件为使函数与轴的两个交点横坐标,可得关于m的不等式组,解不等式组即可得m的取值范围;
(Ⅱ)根据可得对称轴,即可求得m的值。则二次函数在B集合内的值域即可求出;
(Ⅲ)对分类讨论,在的不同取值范围下讨论的单调性,即可求得在不同取值范围时的最小值。
(Ⅰ),因为,二次函数图象
开口向上,且恒成立,故图象始终与轴有两个交点,由题意,要使这两个
交点横坐标,当且仅当
, 解得
(Ⅱ)对任意都有,所以图象关于直线对称
所以,得
所以为上减函数.
;.
故时,值域为.
(Ⅲ)令,则
(i)当时,,
当,则函数在上单调递减,
从而函数在上的最小值为.
若,则函数在上的最小值为,且.
(ii)当时,函数
若,则函数在上的最小值为,且
若,则函数在上单调递增,
从而函数在上的最小值为.
综上,当时,函数的最小值为
当时,函数的最小值为
当时,函数的最小值为
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【题目】已知椭圆方程为,射线与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A,B两点(异于M).
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)求面积的最大值。
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【题目】为了解高一学生暑假里在家读书情况,特随机调查了50名男生和50名女生平均每天的阅读时间(单位:分钟),统计如下表:
(1)根据统计表判断男生和女生谁的平均读书时间更长?并说明理由;
(2)求100名学生每天读书时间的平均数,并将每天平均时间超过和不超过平均数的人数填入下列的列联表:
(3)根据(2)中列联表,能否有99%的把握认为“平均阅读时间超过或不超过平均数是否与性别有关?”
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某运动员每次射击命中不低于8环的概率为,命中8环以下的概率为,现用随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8环,6、7、8、9表示命中8环以下,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,产生了如下20组随机数:
据此估计,该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率为( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知函数(,且).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为,单调减区间为.(Ⅱ)当时, ;当时, .
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得在上单调递减,在上单调递增,由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设 ,则.
∵, ,∴在上单调递增,
从而得在上单调递增,又∵,
∴当时, ,当时, ,
因此, 的单调增区间为,单调减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上单调递减,在上单调递增,
由此可知.
∵, ,
∴.
设,
则 .
∵当时, ,∴在上单调递增.
又∵,∴当时, ;当时, .
①当时, ,即,这时, ;
②当时, ,即,这时, .
综上, 在上的最大值为:当时, ;
当时, .
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为 .
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与轴和轴的交点分别为,为圆上的任意一点,求的取值范围.
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