Question

直线x+ay+1=0与直线（a+1）x-by+3=0互相垂直，a，b∈R，且ab≠0，则|ab|的最小值是

2

．

Answer 1

分析：利用直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直（a，b∈R，且ab≠0，），得到(-

1

a2

)•

a2+1

b

=-1，整理可得|ab|=|a|+

1

|a|

，利用基本不等式即可．

解答：解：由题意得：k₁=-

1

a2

，k₂=

a2+1

b

，
∵两直线互相垂直，
∴k₁•k₂=-1，即(-

1

a2

)•

a2+1

b

=-1，
∴a²b=a²+1，则b=

a2+1

a2

，
∴|ab|=

a2+1

|a|

=|a|+

1

|a|

≥2（当且仅当|a|=1，b=2时取等号）．
∴|ab|的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，着重考查基本不等式的应用，利用两直线垂直得到|ab|=|a|+

1

|a|

是关键，属于中档题．