【题目】椭圆的左、右焦点为
,离心率为
,已知过
轴上一点
作一条直线
:
,交椭圆于
两点,且
的周长最大值为8.
(1)求椭圆方程;
(2)以点为圆心,半径为
的圆的方程为
.过
的中点
作圆的切线
,
为切点,连接
,证明:当
取最大值时,点
在短轴上(不包括短轴端点及原点).
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)利用三角形的周长的最大值结合椭圆的定义,求出a,利用离心率求解c,然后求出b,即可得到椭圆方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,利用韦达定理,结合△>0得m2<4k2+2,求出C的坐标,求出|NC|,|NE|,利用函数的导数求出最大值,推出m的范围.
解:(1)由题意得,
∴
∵,∴
,∴
,
∴所求椭圆方程为.
(2)设,联立
得
,
由得
(*),且
,∴
∴
∵以点为圆心,
为半径的圆的方程为
,∴
,
∴,整理得
∵,∴
令,
∴,∴
令,则
,
∴在
上单调递增,∴
,当且仅当
时等号成立,
此时取得最大值,且
,
∴,∴
且
,
∴点在短轴上(不包括短轴端点及原点).
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【题目】已知函数(
且
),定义域均为
.
(1)若当时,
的最小值与
的最小值的和为
,求实数
的值;
(2)设函数,定义域为
.
①若,求实数
的值;
②设函数,定义域为
.若对于任意的
,总能找到一个实数
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】将函数的图象,向右平移
个单位长度,再把纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数
,则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数
在区间
上单调递增
C. 函数在区间
上的最小值为
D.
是函数
的一条对称轴
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【题目】下列说法正确的有( )
(1)很小的实数可以构成集合;
(2)集合与集合
是同一个集合;
(3) 这些数组成的集合有5个元素;
(4)任何集合至少有两个子集.
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)当时,记函数
的所有单调递增区间的长度为
,所有单调递减区间的长度为
,证明:
.(注:区间长度指该区间在
轴上所占位置的长度,与区间的开闭无关.)
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【题目】等差数列的定义可用数学符号语言描述为________,其中,其通项公式
_________,
__________=_________,等差数列中,若
则________(
)
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【题目】已知函数的定义域为
,对于任意的
,都有
且当
时,
,若
.
(1)求证:为奇函数;
(2)求证: 是
上的减函数;
(3)求函数在区间[-2,4]上的值域.
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【题目】在某项体能测试中,规定每名运动员必需参加且最多两次,一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试,否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为,乙每次通过的概率为
,且甲乙每次是否通过相互独立.
(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率;
(Ⅱ)记为甲乙两人参加体能测试的次数和,求
的分布列和期望.
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