Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．
（1）若k= 时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于 ，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若k= 时，f（x）=x2﹣ x．

由f（x）＞0，得x2﹣ x＞0，即x（x﹣ ）＞0

∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞ }

（2）解：∵f（x）＞0对任意x∈R恒成立，

则△=（﹣k）2﹣4（2k﹣3）＜0，

即k2﹣8k+12＜0，解得k的取值范围是2＜k＜6．

（3）解：若函数f（x）两个不同的零点均大于 ，

则有 ，

解得 ，

∴实数k的取值范围是（6， ）

【解析】（1）由k的值，得到f（x）解析式，由此得到大于0的解集．（2）由f（x）＞0恒成立，得到判别式小于0恒成立．（3）由两个不同的零点，得到判别式△＞0，由两点均大于 ，得到对称轴大于 ，和f（ ）＞0．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．