Question

9．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；
（2）当|MA|²+|MB|²取得最小值时，直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出点A的坐标，写出直线AB的方程，利用基本不等式求出a+b=|OA|+|OB|的最小值，写出对应的直线方程；
（2）设出直线方程为y-1=k（x-1）（k＜0），求出|MA|²+|MB|²的最小值，写出对应的直线方程．

解答 解：（1）设点A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，
直线l的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，
且直线l过点M（1，1），∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1①；
∴a+b=（a+b）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=4，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a}$，即a=b时取“=”，
将a=b代入①式得a=2，b=2；
∴直线l的方程为x+y-2=0，
即|OA|+|OB|取最小值4时，l的方程为x+y-2=0；
（2）设直线方程为y-1=k（x-1）（k＜0），
则A（-$\frac{1}{k}$+1，0），B（0，1-k），
∴|MA|²+|MB|²=[（-$\frac{1}{k}$）²+1]+[1+（-k）²]=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2+2•k²•$\frac{1}{{k}^{2}}$=4，
当且仅当k=-1时取“=”；
∴当|MA|²+|MB|²取得最小值4时，直线l的方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．

点评 本题考查了两点间的距离公式及基本不等式和直线方法的应用问题，是综合性题目．