Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；  
（2）求f（x）在区间[-1，1]值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=ax²+bx+1，代入求解f（x+1）-f（x）=2x，化简求解系数．（2）求对称轴，端点值，判断大小．

解答： 解：（1）二次函数f（x）满足条件f（0）=1
设f（x）=ax²+bx+1，
f（x+1）-f（x）=2x．
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-[ax²+bx+1]=2x
展开化简得：2ax+a+b=2x，
2a=2．a+b=0
即a=1，b=-1，
故f（x）=x²-x+1，
（2）f（x）=x²-x+1，x∈[-1，1]
∵=

1

2

为对称轴，

1

2

∈[-1，1]
f（

1

2

）=

3

4

，f（-1）=3，f（1）=1，
∴f（x）在区间[-1，1]值域为[

3

4

，3]

点评：本题考查了二次函数的性质，及待定系数法求解析式，利用等式恒成立解决．