Question

【题目】如图，在底面为矩形的四棱椎P﹣ABCD中，PB⊥AB．

（1）证明：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若异面直线PC与BD所成角为60°，PB=AB，PB⊥BC，求二面角B﹣PD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵四棱椎P﹣ABCD的底面为矩形，∴AB⊥BC．

∵PB⊥AB，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC

∵CD∥AB，∴CD⊥平面PCD；

（2）解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA=AB=1，BC=a，则B（0，0，0），C（0，0，a），P（1，0，0），D（0，1，a）

∴ ， ，

∵异面直线PC与BD所成角为60°∴ =cos60°．

∴ ，解得a=1，或a=﹣1（舍）

设平面PBD的法向量为 ，由 ，可取

设平面PCD的法向量为 ，由 可取

∴ =﹣

∵二面角B﹣PD﹣C为锐角．∴二面角B﹣PD﹣C的大小为 ．

【解析】（1）由ABCD为矩形得到AB⊥BC，结合PB⊥AB，可得到线AB⊥面PBC，再由平行不难得出证明结果，（2）以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据法向量得到二面角B﹣PD﹣C的大小.
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．