Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；
②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（x）在区间[m-1，m]上恒有|f（x）-x|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由“当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立”得到当x=1时，也成立，所以有1≤f（1）≤1，
从而得到f（1）；
（2）由“当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称”，可知对称轴及在对称轴处取得最值，创造两个条件，再由f（1）=1，可求得二次函数的解析式．
（3）根据第二问可设：g（x）=f（x）-x=

1

4

(x-1)2，由“|f（x）-x|≤1”可得x∈[-1，3]，从而求得结论．

解答：解：（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立
∴1≤f（1）≤1
∴f（1）=1；
（2）∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；
∴-

b

2a

=-1，f（-1）=a-b+c=0
又∵f（1）=a+b+c=1
∴a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

∴f(x)=

1

4

(x+1)2；
（3）设g（x）=f（x）-x=

1

4

(x-1)2
关于x=1对称 
当x∈[-1，3]时，|f（x）-x|≤1
∴0≤m≤3．

点评：本题主要考查二次函数求解析式，里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解，同时还考查了用二次函数构造新函数来研究恒成立问题，二次函数渗透性强，应用范围广，图象和性质要灵活掌握．