Question

如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|=

2

，若MF⊥OA，则椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1

．

Answer 1

分析：设出椭圆方程，利用AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，求出M、C的坐标，利用OM的斜率=OC的斜率，即可求得结论．

解答：解：∵F为椭圆的右焦点，|OF|=

2

，∴c=

2

．
设椭圆方程为

x2

b2+2

+

y2

b2

=1（b＞0），
∵AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，
∴A是长轴右端点，

2

b2+2

+

y2

b2

=1
∴yM=

b2

b2+2

，∴M（

2

，

b2

b2+2

）
∵A（

b2+2

，0），B（0，b）
∴C（

b2+2

2

，

b

2

）
∵OM的斜率=OC的斜率，
∴

b2 b2+2

2

=

b 2

b2+2 2

∴b=

2

，
∴所求椭圆方程是

x2

4

+

y2

2

=1．
故答案为

x2

4

+

y2

2

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．