Question

已知点A（-2，0）在椭圆上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点．
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵∠AFB=150°，∴∠OFB=30°（O为坐标原点）
在直角△BOF中，|FB|=2|OB|，∴a=2b
∵点A（-2，0）在椭圆上，∴a=2，∴b=1
∴椭圆；
（2）∵直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）不垂直于y轴，∴l：x=ty+m
与椭圆方程联立，消元整理可得（t²+4）y²+2mty+m²-4=0
∴△=4m²t²-4（t²+4）（m²-4）＞0，∴t²＞m²-4
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∴，
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，则
∵=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂），
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=
∴或m=-2（舍去）
∴实数m的值为；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，即，∴
∴4m＜t²+4对所有符合条件的t恒成立
由t²＞m²-4知：
①若m²-4＜0，即-2＜m＜2时，t²∈[0，+∞），∴t²+4≥4，∴m＜1，∴-2＜m＜1；
②若m²-4≥0，即m≤-2或m≥2时，t²∈（m²-4，+∞），∴4m＜m²，∴m≤0或m≥4
综上知，实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，1）∪[4，+∞）．
分析：（1）根据∠AFB=150°，可得∠OFB=30°（O为坐标原点），从而可知a=2b，又a=2，故可求椭圆E的方程；
（2）根据直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）不垂直于y轴，假设l：x=ty+m与椭圆方程联立，消元整理可得（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，利用△=4m²t²-4（t²+4）（m²-4）＞0，可得t²＞m²-4
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，利用，可求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，，结合t²＞m²-4，分类讨论，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．