Question

（本题满分10分，其中第1小题5分，第二小题5分）

规定含污物体的清洁度为：。现对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是（），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（）是该物体初次清洗后的清洁度。

（Ⅰ）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。

Answer 1

解：（Ⅰ）设方案甲用水量为，由题设有，解得。

设方案乙的总用水量为，其中第一次、第二次用水量分别为、。

由，解得方案乙初次用水量，

由，解得第二次水量，故。

因为当时，有，故方案乙的用水量较少。

（Ⅱ）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，

由，得；由，解得。

于是

当a为定值时，，

当且仅当时等号成立。

此时，（不合题意，舍去）或∈(0.8，0.99)。

将代入（*）式得，。

故时总用水量最少，为。

设。

∴T(a)在[1，3]上是增函数，∴随着a的增大，最少总用水量增大。▋