Question

已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*．用数学归纳法证明：

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n．

Answer 1

分析：用数学归纳法证明分为两个步骤，第一步，先证明当当n=2时，左边=右边，第二步，先假设当n=k（k∈N^*，k＞1）时，不等式成立，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：证明：（1）当n=2时，左边-右边=

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=(

a-b

2

)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假设当n=k（k∈N^*，k＞1）时，不等式成立，即

ak+bk

2

≥(

a+b

2

)k．（4分）
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
当n=k+1时，(

a+b

2

)k+1=(

a+b

2

)k•

a+b

2

≤

ak+bk

2

•

a+b

2

=

ak+1+bk+1+akb+abk

4

≤

ak+1+bk+1+ak+1+bk+1

4

=

ak+1+bk+1

2

．
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*，不等式

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n总成立．
（11分）

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立